线性代数笔记5,平面方程与矩阵

线性方程的几何意义

线性方程的几何意义

二元线性方程

图片 1

  该方程是三个二元线性方程组,包罗七个方程,每一种方程是一条直线,两条直线的交点就是该方程有唯一解,那就是二元线性方程的几何意义。

图片 2

二元线性方程

图片 3

  该方程是三个二元线性方程组,包蕴八个方程,每一种方程是一条直线,两条直线的交点就是该方程有唯一解,那就是二元线性方程的几何意义。

图片 4

平面方程

  空间内不在同一向线上的三点组成二个平面,平面方程可代表为ax

  • by + cz = d。平面方程也叫做雅士利线性方程。

  方程x + 4y + z =
8,在xyz多个坐标轴上的截距分别是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8),下图是该函数在坐标轴上的示意图:

图片 5

  须求留意的是,平面是极其延伸的。

平面方程

  空间内不在同平昔线上的三点构成三个平面,平面方程可代表为ax

  • by + cz = d。平面方程也称为安慕希线性方程。

  方程x + 4y + z =
8,在xyz多个坐标轴上的截距分别是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8),下图是该函数在坐标轴上的示意图:

图片 6

  要求专注的是,平面是最好延长的。

依照法向量求平面方程

  未来要求找到一个过原点的平面,它有三个过原点的法向量是<1,
5, 10>。

 

 图片 7

  如上图所示,P<x, y,
z>是所求平面上的向量,法向量N⊥OP,因此:

 图片 8

  那就是平面方程。

  再看一个稍微不一致点的题材,二个平面的法向量是N<1,
5, 10>,该平面经过P0(2, 1, -1),求该平面方程。

  由于全数同3个法向量,所以那是与上3个平面平行的平面:

图片 9

  平面上的任意点P1是(x, y,
z),向量P0P1N

图片 10

  上边几个方程唯一的不相同点就是ax + by +
cz = d
中的d,别的参数对应了通过原点的法向量,实际上,d多个平行平面的距离。依据这一个特点,可以连忙求得第一个平面方程:

图片 11

 

  示例

  向量V = <1, 2, -1>与平面x +
y + 3z = 5的关系?

  平面的法向量N = <1, 1,
3>,简单看到,V·N = 1×1 + 2×1 + (-1)×3 =
0,VN,向量V与平面平行。要求专注的是,向量不是点(实际上向量有无数点),<1,
2, -1>差距于(1, 2,
-1),在尚未特出表达的意况下,能够认为向量从原点出发。假设向量V从原点出发,V由此点(1,
2, -1),但该点并不在平面上。

依照法向量求平面方程

  未来亟待找到三个过原点的平面,它有壹个过原点的法向量是<1,
5, 10>。

 

 图片 12

  如上图所示,P<x, y,
z>是所求平面上的向量,法向量N⊥OP,因此:

 图片 13

  那就是平面方程。

  再看二个不怎么不一样点的题材,壹个平面的法向量是N<1,
5, 10>,该平面经过P0(2, 1, -1),求该平面方程。

  由于全体同二个法向量,所以那是与上三个平面平行的平面:

图片 14

  平面上的任意点P1是(x, y,
z),向量P0P1N

图片 15

  上面七个方程唯一的不一样点就是ax + by +
cz = d
中的d,其余参数对应了穿越原点的法向量,实际上,d五个平行平面的离开。依据这么些特点,可以高速求得首个平面方程:

图片 16

 

  示例

  向量V = <1, 2, -1>与平面x +
y + 3z = 5的关系?

  平面的法向量N = <1, 1,
3>,不难见到,V·N = 1×1 + 2×1 + (-1)×3 =
0,VN,向量V与平面平行。须求注意的是,向量不是点(实际上向量有无数点),<1,
2, -1>不相同于(1, 2,
-1),在未曾新鲜表明的处境下,能够认为向量从原点出发。假诺向量V从原点出发,V因而点(1,
2, -1),但该点并不在平面上。

平面方程组的解

  安慕希线性方程组图片 17,设三个平面分别是P1,P2,P3,该方程组有唯一解,即那八个平面相交于少数,五个方程两两相交于一条直线:

图片 18

  平面方程组也或然现身无解的动静,一种典型的气象是几个平面平行。若是P1∩P2≠φ,即双方相交于一条直线,根据P3的职责,平面方程组或许有唯一解,无解,或有无数解。上边是许多解和无解的情况:

 图片 19

有的是解和无解

  统计一下,纵然P1与P2会友,它们的交线:

  1. 与P3会友于一些,则方程组有唯一解;
  2. 在P3上,则方程组有无数解;
  3. 与P3平行,且不在P3上,方程组无解。

  当然,如果P3与P1或P2中2个一律,则汇集是贰个平面。

平面方程组的解

  安慕希线性方程组图片 20,设八个平面分别是P1,P2,P3,该方程组有唯一解,即那多个平面相交于一些,四个方程两两相交于一条直线:

图片 21

  平面方程组也或许出现无解的情况,一种典型的情事是多个平面平行。如若P1∩P2≠φ,即双方相交于一条直线,依照P3的职位,平面方程组只怕有唯一解,无解,或有无数解。上边是成百上千解和无解的动静:

 图片 22

多多解和无解

  计算一下,如果P1与P2结交,它们的交线:

  1. 与P3结交于少数,则方程组有唯一解;
  2. 在P3上,则方程组有无数解;
  3. 与P3平行,且不在P3上,方程组无解。

  当然,如果P3与P1或P2中三个均等,则汇集是2个平面。

点到平面的离开

  平面方程是ax + by + cz =
d,平面外一点P = (x0, y0,
z0),求该点到平面的离开。

 

图片 23

  PQ垂直于平面,未来须求PQ的长度,可是并不知道Q点的具体数值。

  设P’ = (x1, y1,
z1)是平面上的少数,以往将题目转换为向量:

 图片 24

  向量QPP’
P
在法向量N大势上的重量,约等于P’
P
N同一方向的单位向量的点积。(可参看《线性代数笔记3——向量2(点积)》)设距离为D,则:

 图片 25

点到平面的相距

  平面方程是ax + by + cz =
d,平面外一点P = (x0, y0,
z0),求该点到平面的相距。

 

图片 26

  PQ垂直于平面,未来要求PQ的长度,不过并不知道Q点的切切实实数值。

  设P’ = (x1, y1,
z1)是平面上的一点,今后将标题转换为向量:

 图片 27

  向量QPP’
P
在法向量N趋势上的轻重,也等于P’
P
N同样方向的单位向量的点积。(可参看《线性代数笔记3——向量2(点积)》)设距离为D,则:

 图片 28

求解线性方程

  当然可以采取初中的代数知识求解线性方程组,那里最主要研究什么用矩阵求解。

求解线性方程

  当然能够运用初中的代数知识求解线性方程组,那里主要切磋怎样用矩阵求解。

消元法

  图片 29

  首先将方程组以矩阵的措施表示:

图片 30

  该矩阵称为增广矩阵。由于是线性方程组,可以大致未知数:

 图片 31

  未来得以对其进展消元,首先消去x,方法与平日代数法类似:

图片 32

  用相同的法门对y消元:

图片 33

  矩阵第叁,行对应-31z = 62,z = -2

  最后可解得图片 34

  可以看到,消元法本质上与初中的代数法没有分别,只是换了一种较为不难的表现形式,对于多元线性方程组,其消元进程十一分累赘。

消元法

  图片 35

  首先将方程组以矩阵的章程表示:

图片 36

  该矩阵称为增广矩阵。由于是线性方程组,可以大致未知数:

 图片 37

  将来得以对其进展消元,首先消去x,方法与平日代数法类似:

图片 38

  用相同的点子对y消元:

图片 39

  矩阵第贰,行对应-31z = 62,z = -2

  最终可解得图片 40

  可以看到,消元法本质上与初中的代数法没有分别,只是换了一种较为简单的表现格局,对于多元线性方程组,其消元进度十一分麻烦。

矩阵法

  图片 41

  那里必要利用列向量的概念,列向量是一个n×1
的矩阵,即矩阵由三个包罗n个成分的列所组成:列向量的转置是二个行向量,反之亦然。

  将方面的方程组用矩阵和向量表示:

图片 42

图片 43

  实际上可看作 x =
b/A,有点意思了,能够由此二个除法运算直接求得方程的解。

图片 44

  解得图片 45

  对于多元线性方程组,使用矩阵法求解比消元法简单的多。

  大家用python求解消元法中的方程组图片 46

1 import numpy as np
2 
3 a = np.matrix([[-1,2,-1],[3,-7,-2],[2,2,1]])
4 c = np.matrix([[9,-20,2]]).T
5 result = a**-1 * c
6 print(result)

  图片 47

矩阵法

  图片 48

  这里要求采取列向量的概念,列向量是一个n×1
的矩阵,即矩阵由二个饱含n个成分的列所组成:列向量的转置是二个行向量,反之亦然。

  将上边的方程组用矩阵和向量表示:

图片 49

图片 50

  实际上可看作 x =
b/A,有点意思了,可以透过一个除法运算直接求得方程的解。

图片 51

  解得图片 52

  对于多元线性方程组,使用矩阵法求解比消元法简单的多。

  大家用python求解消元法中的方程组图片 53

1 import numpy as np
2 
3 a = np.matrix([[-1,2,-1],[3,-7,-2],[2,2,1]])
4 c = np.matrix([[9,-20,2]]).T
5 result = a**-1 * c
6 print(result)

  图片 54

无解的方程组

  线性方程组在用矩阵向量法转换后,若是矩阵A是奇异矩阵,A-1从未定义,该方程组无解。对于二元线性方程组来说,其几何意义是两条平行的直线。

  如
 图片 55,该方程组无解,
图片 56 是奇异矩阵。下图是该方程组在坐标轴上的图像:

图片 57

无解的方程组

  线性方程组在用矩阵向量法转换后,若是矩阵A是奇异矩阵,A-1尚未概念,该方程组无解。对于二元线性方程组来说,其几何意义是两条平行的直线。

  如
 图片 58,该方程组无解,
图片 59 是奇异矩阵。下图是该方程组在坐标轴上的图像:

图片 60

示例

示例

示例1

  求上面的平面方程:

  a)       已知平面的法向量N =
<1, 2, 3>,平面过点(1, 0, -1)

  b)      
平面过原点且平行于八个向量A = <1, 0, -1>和B = <-1, 2,
0>

  c)       平面过点P1(1, 2, 0), P2(3, 1,
1), P3(2, 0, 0)

  d)      
平面与a中的平面平行,且经过点(1 , 2, 3)

 

  a.

  平面方程ax + by + cz = d,N =
<1, 2, 3> =<a, b, c>,所以平面方程是x + 2y + 3z = d

  将点(1, 0, -1) 代入平面方程,1 + 0 -3
= -2 = d

  平面方程是 x + 2y + 3z = -2

 

  b.

  平面方程ax + by + cz = d

  ∵AB过原点,且与平面平行,并且平面过原点

  ∴AB在平面上,d = 0

  已知平面上三个个向量从同一些出发的向量,计算平面的法向量:

 图片 61

  平面方程是 2x + y + 2z = 0

  依据叉积计算法向量可参照《线性代数笔记4——向量3(叉积)

 

  c.

 图片 62

  平面方程2x + y – 3z =
d,取任意点代入,d = 4。平面方程是2x + y – 3z = 4

 

  d.

  a的平面是x + 2y + 3z =
-2,由于该平面平行于a,所以该平面是x + 2y + 3z = d。

  将点(1 , 2, 3)代入,1 + 2×2 + 3×3 = 14
= d

  平面方程是x + 2y + 3z = 14

示例1

  求上面的平面方程:

  a)       已知平面的法向量N =
<1, 2, 3>,平面过点(1, 0, -1)

  b)      
平面过原点且平行于五个向量A = <1, 0, -1>和B = <-1, 2,
0>

  c)       平面过点P1(1, 2, 0), P2(3, 1,
1), P3(2, 0, 0)

  d)      
平面与a中的平面平行,且通过点(1 , 2, 3)

 

  a.

  平面方程ax + by + cz = d,N =
<1, 2, 3> =<a, b, c>,所以平面方程是x + 2y + 3z = d

  将点(1, 0, -1) 代入平面方程,1 + 0 -3
= -2 = d

  平面方程是 x + 2y + 3z = -2

 

  b.

  平面方程ax + by + cz = d

  ∵AB过原点,且与平面平行,并且平面过原点

  ∴AB在平面上,d = 0

  已知平面上多个个向量从同一些出发的向量,总结平面的法向量:

 图片 63

  平面方程是 2x + y + 2z = 0

  依据叉积计算法向量可参看《线性代数笔记4——向量3(叉积)

 

  c.

 图片 64

  平面方程2x + y – 3z =
d,取任意点代入,d = 4。平面方程是2x + y – 3z = 4

 

  d.

  a的平面是x + 2y + 3z =
-2,由于该平面平行于a,所以该平面是x + 2y + 3z = d。

  将点(1 , 2, 3)代入,1 + 2×2 + 3×3 = 14
= d

  平面方程是x + 2y + 3z = 14

 示例2

  求原点到平面2x + y -2z =
4的距离。

图片 65

 

 示例2

  求原点到平面2x + y -2z =
4的偏离。

图片 66

 

总结

  1. 二元线性方程组的几何意义是平面上的两条直线,其解是二者的交点
  2. 长富线性方程组的几何意义是三维空间上的多少个平面,大概存在唯一解、无数解或无解
  3. 平面方程用ax + by + cz =
    d,点到平面的距离图片 67
  4. 若果线性方程组对应的矩阵是奇异矩阵,则该方程组无解

 


   作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以念书、研讨和享用为主,如需转发,请联系作者,标明我和出处,非商业用途! 

总结

  1. 二元线性方程组的几何意义是平面上的两条直线,其解是双方的交点
  2. 长富线性方程组的几何意义是三维空间上的几个平面,只怕存在唯一解、无数解或无解
  3. 平面方程用ax + by + cz =
    d,点到平面的离开图片 68
  4. 若果线性方程组对应的矩阵是奇异矩阵,则该方程组无解

 


   作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以念书、研商和享用为主,如需转载,请联系小编,标明作者和出处,非商业用途!