定积分的应用2

  定积分除了总括面积外,还足以选取在盘算体量上。

  定积分除了总结面积外,还是能动用在估测计算容量上。

圆盘法

  一条曲线y =
f(x),假设曲线绕x轴旋转,则曲线经过的区域将形成二个橄榄球形状的体积,如下图所示:

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曲线绕x轴旋转七日

  以后要计算体积。大家如故依据黎曼和切片的思绪去计算,只不过那回供给或多或少想象力。

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  将上海体育地方的矩形绕x轴旋转一周将赢得2个半径为y,高度为dx的圆盘:

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矩形框绕x轴旋转一周

  该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2,体量:
Δv ≈ S(x)Δx,如若将全方位图形的体量切成n个圆盘:

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  这便是圆盘法。

圆盘法

  一条曲线y =
f(x),假如曲线绕x轴旋转,则曲线经过的区域将形成三个橄榄球形状的体量,如下图所示:

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曲线绕x轴旋转一周

  现在要总括体积。大家照样依照黎曼和切片的思路去总计,只不过那回须求一些想象力。

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  将上海体育场面的矩形绕x轴旋转一周将获取一个半径为y,低度为dx的圆盘:

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矩形框绕x轴旋转七日

  该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2,体量:
Δv ≈ S(x)Δx,假设将整个图形的体积切成n个圆盘:

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  那正是圆盘法。

示例

  求半径为a的球的体量。

  通过球体的公式可见,V
=πa3(4/3),即使大家不知晓那一个公式,使用圆盘法求解。

  先将球体的最大横截面投影到直角坐标系上,在对圆的上半部分切割,旋转,如下图所示:

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  圆盘的底面积≈πy2dx,由此能够博得球体体积:

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  还必要将y转换为x。依照上海教室中圆的公式(x
– a)2 + y2 = a2,可得出y2 =
2ax – x2,于是:

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  实际上大家获得了越来越多的新闻,假如仅计算部分球体的容量,依然得以选用方面包车型客车定论,仅改变积分上限即可,如下图所示:

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  实际上能够把V = π(ax2
x3/3)看作球体切片的公式。

示例

  求半径为a的球的体积。

  通过球体的公式可见,V
=πa3(4/3),假若大家不晓得那几个公式,使用圆盘法求解。

  先将球体的最大横截面投影到直角坐标系上,在对圆的上半部分切割,旋转,如下图所示:

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  圆盘的底面积≈πy2dx,由此能够得到球体容积:

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  还索要将y转换为x。依据上海体育场地中圆的公式(x
– a)2 + y2 = a2,可得出y2 =
2ax – x2,于是:

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  实际上我们得到了越多的消息,假使仅总括部分球体的体量,仍是能够利用方面包车型客车定论,仅改变积分上限即可,如下图所示:

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  实际上能够把V = π(ax2
x3/3)看作球体切片的公式。

壳层法

  假使坩埚内壁的横截面曲线是y =
x2,深度是a,总括坩埚的容量。

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估测计算坩埚的体积

  大家依旧能够应用圆盘法总括,这是此次是绕y轴转动:

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圆盘法

  圆盘的冲天是Δy,所以必要将原函数转换到y关于x的函数,在正半轴上,x
= y1/2

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  对于本例来说,圆盘法没反常,即便曲线的公式再繁杂一点,就需求在反函数的转移上耗时,就算大家直接纵向切割,使用dx代替dy,就不必对原函数实行转换:

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  矩形绕y轴转动七日将收获四个圆环,其厚度是dx,半径是x,高度是a
– x2,如下图所示:

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  借使展开圆环,将收获三个底面积是圆环周长,中度是dx的长方体,其容积:

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  因此,坩埚的体积是:

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壳层法

  即便坩埚内壁的横截面曲线是y =
x2,深度是a,总括坩埚的容量。

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计量坩埚的容量

  大家照样能够接纳圆盘法总括,那是这一次是绕y轴转动:

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圆盘法

  圆盘的可观是Δy,所以须求将原函数转换到y关于x的函数,在正半轴上,x
= y1/2

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  对于本例来说,圆盘法没反常,假如曲线的公式再繁杂一点,就须求在反函数的转换上耗时,假设大家平昔纵向切割,使用dx代替dy,就无须对原函数实行更换:

图片 31

  矩形绕y轴转动一周将获取一个圆环,其厚度是dx,半径是x,中度是a
– x2,如下图所示:

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  假诺举办圆环,将赢得一个底面积是圆环周长,中度是dx的长方体,其体量:

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  因而,坩埚的体量是:

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单位暴发的悖论

  在测算坩埚的体量时,大家最终赢得V =
πa2/2,假若坩埚深度是1m,代入公式得到π/2(m3);现在将1m换到100cm,因为中度是相同的,所以我们希望收获一致的结果,可是代入公式后,最后获得一千0π/2(cm3)=
0.01π/2(m3)相差了100倍!那回有意思了。

  难题出在哪呢?仔细考察最终结出的积分情势:

图片 35

  积分的上限是a1/2,11/2
= 1,1001/2 =
10,由此单位不相同将获取分化的结果。实际上这一个公式违背了百分比标准,将兼具标题数学化的同时并不曾考虑到物教育学中的量纲。那就好比引力加快度是9.8,但那一个9.8是有单位的,单位是米每一回方秒,假设长度单位接纳毫米,那个常数9.8也亟需相应变更才能适用。

单位发出的悖论

  在盘算坩埚的容量时,大家最终收获V =
πa2/2,假如坩埚深度是1m,代入公式获得π/2(m3);以后将1m换来100cm,因为高度是相同的,所以大家希望收获一致的结果,可是代入公式后,最后赢得10000π/2(cm3)=
0.01π/2(m3)相差了100倍!那回有意思了。

  难点出在哪呢?仔细考察最后结果的积分格局:

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  积分的上限是a1/2,11/2
= 1,1001/2 =
10,因而单位不一样将获取不相同的结果。实际上这么些公式违背了百分比标准,将具有标题数学化的同时并没有设想到物医学中的量纲。那就好比重力加快度是9.8,但那些9.8是有单位的,单位是米每1次方秒,如若长度单位利用毫米,那个常数9.8也亟需相应变更才能适用。

示例

示例

示例1

  求y = 5和y=x2 +
1所围图形绕y轴转动后获取的体量。

  用圆盘法总结,圆盘绕y轴转动,如下图所示:

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示例1

  求y = 5和y=x2 +
1所围图形绕y轴转动后收获的体量。

  用圆盘法计算,圆盘绕y轴转动,如下图所示:

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示例2

  求x=4和y=x1/2,x轴所围图形绕x=6旋转后收获的体量。

图片 41

  本例依照壳层法计算,如下图所示:

图片 42

  壳层(或圆环)的高是x1/2,半径是6
– x,厚度是dx:

图片 43

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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示例2

  求x=4和y=x1/2,x轴所围图形绕x=6筋斗后获得的体量。

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  本例依照壳层法计算,如下图所示:

图片 45

  壳层(或圆环)的高是x1/2,半径是6
– x,厚度是dx:

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