数学笔记25

  积分的概念来源于实际行使。对多少个函数积分能够清楚为求曲线下的面积,但积分的意义不仅仅如此。作为牛顿生平最宏大的阐发,有了积分,大家就足以去总计曲线的弧长,能够去求区域的面积,也得以去总计很多大体难题。

  积分的概念来源于实际行使。对1个函数积分能够知道为求曲线下的面积,但积分的效果不仅仅如此。作为Newton一生最光辉的表明,有了积分,我们就足以去总括曲线的弧长,能够去求区域的面积,也得以去总括很多物理难点。

弧长

弧长

弧长的定义

  曲线上两点之间的曲线长度称为弧长,未来大家试图用积分定义弧长。

图片 1

  将上海教室的曲线分为n段,用直线连接相邻的两点,当Δx→0时,两点间的线条长度趋近于弧长:

图片 2

  将s定义为弧长,则:

 图片 3

  用微分表示上式,能够去掉约等号:

图片 4

  习惯上,上式去掉括号:

图片 5

  其余三种常见的变形:

 图片 6

  由此获得a、b两点间弧长的表明式:

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弧长的概念

  曲线上两点时期的曲线长度称为弧长,今后大家试图用积分定义弧长。

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  将上图的曲线分为n段,用直线连接相邻的两点,当Δx→0时,两点间的线条长度趋近于弧长:

图片 9

  将s定义为弧长,则:

 图片 10

  用微分表示上式,能够去掉约等号:

图片 11

  习惯上,上式去掉括号:

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  其余二种常见的变形:

 图片 13

  因而得到a、b两点间弧长的表明式:

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线性函数的弧长

  如若有曲线y = mx,则y’ = m,
图片 15 ,曲线在0 ≤ x ≤
10处的弧长:

 图片 16

图片 17

  如上海体育场所所示,能够丢弃积分直接总计两点间的弧长,其结果和积分运算相等。对于这一个例子来说,结果是明显的,可是其表达的含义是:如若大家能对线性函数推导出那些公式,那么微积分也能告诉大家应当怎么办。微积分的盘算就存在于这一个大概的,甚至不要求微积分总括的历程中。全体那几个工具,微分、积分、极限,能够答应其余曲线,因为大家将曲线分割成了极端小,那正是确立积分的想想。

线性函数的弧长

  假如有曲线y = mx,则y’ = m,
图片 18 ,曲线在0 ≤ x ≤
10处的弧长:

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  如上航海用体育场地所示,能够吐弃积分直接计算两点间的弧长,其结果和积分运算相等。对于那么些例子来说,结果是肯定的,可是其表达的意思是:假设大家能对线性函数推导出这么些公式,那么微积分也能告诉大家理应咋做。微积分的盘算就存在于这一个大致的,甚至不供给微积分计算的长河中。全数这一个工具,微分、积分、极限,能够回答其他曲线,因为我们将曲线分割成了最佳小,那正是身无寸铁积分的想想。

单位圆的弧长

  总计下图单位圆上的弧长s:

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  单位圆中:

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  根据弧长公式:

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  接下去便是求解积分的标题。

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  也可以写成:a = sins

  在单位圆中,弧长s = 弧长夹角θ,a =
rsinθ = sinθ,上边的计量结果与概念相同。

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单位圆的弧长

  总计下图单位圆上的弧长s:

图片 26

  单位圆中:

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  依照弧长公式:

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  接下去就是求解积分的难题。

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  也得以写成:a = sins

  在单位圆中,弧长s = 弧长夹角θ,a =
rsinθ = sinθ,上面包车型大巴测算结果与概念相同。

 图片 30 

抛物线的弧 

  求曲线y = x2在x∈[0,
a]上的弧长。

图片 31 

  接下去是求解积分难题,令x =
tanθ/2 

图片 32

  令u = secθ, v’ = sec2θ, v
= tanθ,  u’ = secθtanθ

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  最终弧长:

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抛物线的弧 

  求曲线y = x2在x∈[0,
a]上的弧长。

图片 38 

  接下去是求解积分难题,令x =
tanθ/2 

图片 39

  令u = secθ, v’ = sec2θ, v
= tanθ,  u’ = secθtanθ

图片 40

图片 41

图片 42

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  最后弧长:

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曲面面积

曲面面积

求解方法

  曲线y =
x2绕x轴旋转七日,求在x在[0,
a]上,立体图形的外部面积。

 图片 45

  图形类似于喇叭口,能够运用圆盘法求解,只是将dx换到ds,上图中圆盘的表面积:

 图片 46

  总面积:

 图片 47

  这一个复杂的积分依然提交总结机吧。

求解方法

  曲线y =
x2绕x轴旋转七日,求在x在[0,
a]上,立体图形的表面面积。

 图片 48

  图形类似于喇叭口,能够应用圆盘法求解,只是将dx换来ds,上海体育场地中圆盘的表面积:

 图片 49

  总面积:

 图片 50

  这一个纷纷的积分仍旧交给总括机吧。

球面面积

  可以将球看作为半径为a的半圆y2 +
x2 =
a2绕x轴旋转三13日形成的图纸,总括x在[x1,
x2]处形成圆盘的球面面积:

 图片 51 

图片 52

  整个球体的表面积:

 图片 53

  结果与球身体表面面积公式一样。

球面面积

  能够将球看作为半径为a的半圆y2 +
x2 =
a2绕x轴旋转七日形成的图形,总结x在[x1,
x2]处形成圆盘的球面面积:

 图片 54 

图片 55

  整个球体的表面积:

 图片 56

  结果与球身体表面面积公式一样。

归纳示范

回顾示范

示例1

  计算y = x3/2在0 ≤ x
≤ 4处的弧长。

 图片 57

y = x3/2

 图片 58

示例1

  计算y = x3/2在0 ≤ x
≤ 4处的弧长。

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y = x3/2

 图片 60

示例2

  如下图所示,求圆心为Haval,半径为r的圆绕y轴转动一日形成的环的表面积

图片 61

  由于是绕y轴转动,表面积的微分是da =
2πxds,接下去就是如何求解ds和da的积分。

图片 62

  上半圆的表面积:

 图片 63

  又是求解积分的难点了,令u = x –
路虎极光

 图片 64

  令u = rsint,du =
rcostdt;u的取值范围是[r, -r],所以t的取值范围是[π/2, -π/2]

 图片 65

 


  作者:我是8位的

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示例2

  如下图所示,求圆心为大切诺基,半径为r的圆绕y轴转动30日形成的环的表面积

图片 66

  由于是绕y轴转动,表面积的微分是da =
2πxds,接下去正是怎样求解ds和da的积分。

图片 67

  上半圆的表面积:

 图片 68

  又是求解积分的难题了,令u = x –
奥迪Q5

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  令u = rsint,du =
rcostdt;u的取值范围是[r, -r],所以t的取值范围是[π/2, -π/2]

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