从弱Finsler几何到标准场,微分几何

博士最终的一年多直接在钻探的正是Finsler几何及其上的大意。
  然后就平昔感觉那货就像是特别不直觉。。。
  最让人以为狼狈的,便是对照黎曼几何,芬斯勒几何中的内积不是概念在切丛上的,而是定义在节丛上的,这一个特别不自然。
  所以,就直接在设想怎么从一种相去甚远的角度来搞这些难题。
  那正是一份有关的记录。

过大年在家,为了让那些年有一些年味,况且也为了回想马上就要去北漂,所以希图做点东西,于是就有了那篇作品。


哦,固然有过多测算,但中央还是三个脑洞,三个Toy 西奥ry。

假如我们早就有了微分结构,但还一直不衡量结构。
  那么此时我们能够博得如何啊?
  协变矢量Vμ与逆变矢量Aμ自然是足以部分,所以大家得以获得各样逆变协变以及混合张量。大家也长期以来有协变基矢和逆变基矢的双料关系niμnjμij
  由于协变矢量与逆变矢量的对偶性,大家得以以为它们可是是同二个事物的二种不一样表明,所以无妨就用“矢量”来顶替。
  矢量在切空间中的表示就是协变矢量,而在余切空间中的表示就是逆变矢量。
  在独有微分结构为未有度量结构的时候,大家还是能够定义一种“场”,正是在每一点上都得以将TM(m,
n)中的成分映射到TM(p,
q)中,即能够将三个m阶协变n阶逆变的张量映射到三个p阶协变q阶逆变的张量,或许利用从前的双料之后的观念来讲,就是将叁个m+n阶张量映射为一个p+q维张量。
  在坐标转换下,上述内容都得以有所鲜明的转移准绳而不会孳生歧义。
  但,比较有意思的是假如是非坐标转换,举个例子对已经常的映射F:
TM(1)→TM(1),仿佛就很难推广到自由的TM(m, n)→TM(p,
q)上,除非映射是线性映射,那么可以在操作意义上找到合理的外推。


上边,在这样的长空上引进衡量结构,且不须求该度量是黎曼的,进而得以是芬斯勒度量。

一旦时间和空间的心路具备如下Finsler情势:

心胸和内积的涉及是非常幽默的。
  能够说,内积包涵了胸怀,因为矢量Vμ与本人的内积便是它的模长的平方,那是内积与胸襟的符合点:〈Vμ,
Vμ〉=|Vμ|2
  在守旧的Finsler几何中,从衡量到内积的获取情势是那般的:

图片 1

  对于黎曼度量,上市左边包车型客车度规张量只是地点xμ的函数,进而和矢量yμ毫无干系,由此流形切空间中矢量的内积只和切空间所在地方的度规张量相关,也正是说内积是概念在切丛上的。
  但在Finsler几何中,侧面的度规张量不但和地点xμ连带,还与矢量yμ连带,进而未来矢量之间的内积不但和涉企内积的多个矢量以及切空间所在地方相关,还与有些第三方的矢量相关,进而内积是概念在其节丛上的,而非切丛。
  通过简单的演绎我们得以领略,假诺要确认保证古板内积的定义,那么只好将内积放到节丛上,进而此主题材料不能制止。
  但,内积的概念本身是从经验中得来的,而原来的阅历中定义在切丛依然节丛上并未刚烈的表明,即使经历中都是概念在切丛而非节丛上的,所以大家得以适合的数量地放任有个别既定经验,非常是平素不写小说的经验,来布局一个概念在节丛上的内积。
  可,反过来讲,大家也能够放任一些既定的篇章经验,进而选择另一条路。
  这么一来,难点就很有趣了——假定内积不是对称的,会怎样?

中间第一片段是观念的黎曼型度量,前者为对黎曼型衡量的距离,进而结成Finsler衡量。

从纯几何直观来讲,内积能够被发挥为这么贰个事物:
  矢量V1μ在矢量V2μ趋势上的阴影长度与V2μ长度的积,正是V1μ和V2μ的内积。
  选用那个几何直观的概念,在黎曼几何中,大家轻松申明V1μ到V2μ的内积和V2μ到V1μ的内积是同一的,进而内积是对称的。
  但,在Finsler几何下,这种对称性就被打破了:

如此的Finsler衡量平时的话是很难直接求解的,于是我们那边假定:h十分的小,进而具有高阶项都可以忽略

  在那个概念中,“投影”被定义为从V2μ的端点到V1μ上某一点的偏离最短,则该点正是V2μ到V1μ的黑影地点。值得注意的是,对于最平日化的Finsler流形,上述的大方向假若反过来的话,将交给天壤悬隔的定义结果,因为在最平时化的Finsler衡量中,并不要求如下等式的确立:

这样的话,会为总计带来一定的惠及,比方衡量的平方(这一个在Finsler几何中比度量本人更常用):

  当然,大家还能选取将上述定义做二个“代数化”,思虑多少个海阔天空小变化,从而V1μ变化到V2μ=V1μ+dVμ,那么此时上述内积的概念在Infiniti小范围内可以被发布为更为简明的款式:

图片 2

在Riemann几何中,上述三种样式的定义是等价的。
  如上定义后,大家自然就获取了从V1μ到V2μ的内积的定义,且那样定义的内积尽管是非对称的,但却符合几何直观——即便几何直观这几个须求在真正的几何学看来是一个传言,但本人个人以为比将内积从切丛搬到节丛要可信赖。
  今后内积为一个TM(1)×TM(1)→TM(0)的照耀(并不是从TM(2)→TM(0)的酷炫),并记为〈V1μ,
V2μ〉。那样的内积不满意对称性,何况貌似也不满足双线性,因为它是惊人方向注重的——那也是Finsler几何和Riemann几何最大的区分,Riemann几何从能够在一部分通过坐标调换成成为Minkowski几何,前者是来势非亲非故的。但非Riemann的Finsler几何无论怎样都不容许由此坐标转变产生Minkowski几何,进而也就必将是可行性正视的了——在古板Finsler微分流形中,这种侧向依赖性映今后内积被定义在节丛上,进而大家一味都急需四个第三方矢量来作为“信赖方向”,而明天这种趋势依赖性映今后内积算符的非对称与非双线性上。


在此基础上,大家自然能够在余切丛上也定义内积,只要透过协变矢量与逆变矢量的对偶性就可以。
  然而由于内积本身刚毅信任于矢量,进而对于张量来讲就荒诞不经内积的合理性外推。
  事实上,在Riemann几何中,内积原来是概念在TM(1)×TM(1)上的,但由于其将内积外推到了度规张量,后面一个的意思远较“内积”自己宽泛与丰盛,进而使得TM(m)→TM(m-2)的酷炫成为大概。
  因而,度规自个儿是一个比内积具备更拉长内涵的几何实体。
  而明日,大家具有的可是是三个二目算符〈,〉:
TM(1)×TM(1)→TM(0),从而并不能够做那样轻松的外推,因为那一个算符既然不知足线性须要,那就不可能经过轻便的上空直积来收获推广。
  为此,对于张量的“缩并”(原意是TM(m, n)钦点四个目标缩并以获得TM(m-1,
n-1),这里给予了开展)必得利用和内积分歧的概念格局,并保管在再次回到Riemann几何后可现在退到Riemann几何的结果。
  对如此的“缩并”近期个人以为比较适当的是因此对指标球的积分来得到,只但是对于积分体元来讲,就如还未有交给二个较好的概念。
  很明显,在继内积失去对称与双线性那七个基本点特色后,度规张量也错过了概念,而压缩合并也就与内积齐轨连辔了。这里充满了各样骗局,每一个都很有望是的这种内积的概念方式失效,进而只好回去将内积定义在节丛进而持续保持对称性与双线性的亮点但与此同期不得不引入第三方矢量的弱项,那个Finsler微分流形的套路上来。

下一场,大家来看Clifford代数中的壹天性质:

有了内积后,大家自然要问这么多个标题:以后的联络是什么样?
  所谓联络,是将某点切空间中的矢量输运到邻点切空间中的七个映射,进而能够被这么标志:

图片 3

  大家能够进一步认为关系对切空间中的矢量来讲是线性的,进而就有:

那边Q是二个一次型,且易于看见它正是胸襟的平方(假定Clifford代数定义在二个具有衡量结构的几何流形上)。

  在什么样明确联络的切实方式方面,Riemann几何采纳的适配条件是对度规张量的协变微分为零。可大家明天并未有度规张量,从而只能动用另一种概念方式。
  另一方面,在思想的Finsler微分几何中,我们得以小心到在非常的大一类Finsler流形上,连接两点的自平行曲线(即平常所说的“直线”)和三番五次两点的最短曲线很只怕不是同等条直线,也正是说在Finsler流形上平日不设有“连接两点最短的是直线”那样的几何直观与几何经验。可要是我们渴求这一点持续维持,会怎样呢?
  要求那点持续保持,就等于是说须求自平行曲线必需是极值曲线,即下边多个方程必须同一时候创立:

Finsler几何当然不是三遍型度量的,所以不可能直接行使上述Clifford代数结构,进而守旧的Finsler几何采纳如下情势的概念在节丛上的内积:

  那样,引入协理0阶齐次对称张量

图片 4

以及衡量F是一阶齐次的,我们得以付出联络:

但这种概念的劣势,就是四个流形上矢量的内积还在于第八个矢量的侧向(因为是概念在节丛上的),那一点本人也可能有一些反古板的。

越来越,利用预设联络对V来讲是线性的,引进上述支持张量的逆:

那就是说,若是大家这里强行使用Clifford型内积,会获得如何呢?

以及支援-1阶齐次张量:

最简便的,当然是一向采纳如下方式的内积定义:

大家能够有:

图片 5

如果越来越思索到此地矢量Vμ用作方向设有进而不应当显含其对坐标的微分,那么地方的结果能够接纳Cμνλ的-1阶齐次的风味而赢得结果:

但,大家都知情,Clifford型内积的表示其实也并不独一,举例上面那多少个在三遍型Q的情事下是等价的:

  可知,定义正视于输运方向的线性的联系函数照旧得以建构的。
  这里,联络的率先局地和价值观Riemann几何上的克氏符是一致的,而第二部分中的-1阶齐次张量在Riemann几何中恒为零,进而是Finsler几何上所特有的局地——那一点在古板的Finsler几何中也是那样。
  更有趣的是,由于-1阶齐次函数的特征,大家能够领会那第4局地其实能够乘上一个Infiniti制的参数n而不改动结果,由此未来关系事实上能够写为:

图片 6

这里的第二部分在情势上很轻便令人回顾Riemann几何中的扰率,但真相上这两个却是很分裂的,大家其实还是能够引进三个单身的反对称张量Tμνλ与Vμ的积TμνλVλ来作为扰率存在而不影响结果。
  由于联系以后依据于方向,进而联络对于输运方向日常是非线性。但对此输运的矢量却是线性的,进而这样的牵连能够对种种张量定义(协变张量的协变微分这里曾经交付,而逆变张量的协变微分则可以透过对偶性获得)。并且,也是因为联系对输运方向是非线性的,从而以往天然地就会油不过生扰率(而无需引进上述聊起的不予称扰率张量):

但对于Finsler衡量,上述几个姿态相互之间是不等价的,有其对于某个Finsler度量,假如不满意强一阶齐次,而是弱一阶齐次,那么此时我们有:

那边前边的隐含联络的某些变给出了扰率算符:

图片 7

  鲜明,以往扰率的出现是出于衡量的大势信任性而当然引进的,并不需求如Riemann几何中这样额外市给出与度规无关的不予称有的作为扰率。
  进一步大家能够定义Riemann曲率张量:

于是乎上面式子中的矢量差部分Q(u-v)就变得很神奇了,到底是u-v仍旧v-u?

进而有:

此间,我们引进第4个如若:Finsler的内积是非对易的。

能够看来,未来本来是张量的扰率和曲率,未来都成了张量性算符,即只要付出方向,便能够提交由那四个方向所规定的叁个矢量或许张量。
  若是大家有了缩并算子,那么就足以行使Riemann曲率算符给出Ricci曲率算符库罗德μ(Aμ),接着再接纳压缩合并算子来给出Ricci曲率标量。
  从样式上的话,今后线性部分代表切丛纤维之间的炫酷,而作为函数参数的多个样子则一心是流形上的,进而将小小和底流形在花样上加以了分别。
  相比较传统Finsler微分几何,大家开采众多依据于第三方矢量而定义的曲率张量都灭绝了,譬如Flag曲率等等。
  但也不可能说哪些收获都未曾,毕竟以往有所的几何都定义在切丛上,从而未来假使做物理的话,意义也就更分明了——大家在理念Finsler微分几何中并不明显那第三方矢量的物理意义是哪些,只好交给各类假定。

那么,以后,大家就采纳如下方式的内积来谈谈:


图片 8

哦,大约就整理成那样了吧。

以此内积的概念在L为黎曼型衡量的时候自然回归到黎曼型内积,而在非黎曼型的Finsler度量下,则能交付分歧的结果——特别是,倘诺Finsler衡量具备强一阶齐次性,那么这几个内积是对称的;但万二头有弱一阶齐次性,那么这一个内积非对称,非对称的部分能够知晓为扰率。


上边我们用|V|来代表流形上矢量V在开班所说的Finsler型衡量的黎曼部分成效下的长短,进而对于弱Finsler流形,上述内积能够交到如下情势:

本文遵从行文分享CC BY-NC-S奥迪A8.0合计**

图片 9

透过本公约,您能够大快朵颐并修改本文内容,只要你坚守以下授权条目款项规定:姓名标示
非商业性一致格局分享
具体内容请查阅上述合同注脚。


正文制止全数纸媒,即印刷于纸张之上的漫天社团,包蕴但不限于转发、摘编的别样利用和衍生。网络平台如需转发必须与自己联系确认。

有了胸怀,我们得以来看流形上的极值曲线:


图片 10

若是喜欢简书,想要下载简书App的话,轻戳这里~~
<small>私人推荐订阅专题:《有趣的小说》《严穆码匠圈》</small>

以及自平行曲线:

图片 11

里面守旧偏导是对坐标的偏导,而变分符号在那边表示对矢量部分的偏导,联络函数对第2个变量是一阶齐次的。

如果我们渴求极值曲线与自平行曲线在另外情况下都特别,那么就能够收获联络的发挥:

图片 12

在弱Finsler极限下就有(上标V表示是V的函数):

图片 13

其中

图片 14

所以就有(注意对第叁个参数的一阶齐次需要):

图片 15

其中

图片 16

能够看出,这么选拔的牵连函数,对于八个参数都是一阶齐次的,算是多个很好的习性。更距离的话,对于方向矢量V不是线性的而只是一阶齐次,而对于被输运矢量A确实线性的。

本条格局当然是非唯一的,越发对于一些量到底是选A依旧V,其实有相当的大的猖狂性。这里关键思索的依旧关于第二个参数的一阶齐次须要,接着就是尽可能使被输运的矢量的效力轻巧,从而一切的复杂只映现在可行性的选项上。

从最后的表明来看,联络函数的率先项的第一有个别是古板黎曼重力项,第二项的首先有的是思想专门的学业场项。第一项与第二项的第二盘部则都以重力与标准场的耦合项,且第一项的第二片段在挑选古板规范场情势的时候自动消失。

而标准场的局地,在加速度的表明式中,我们能够以为粒子运动的切矢量的长度为常数且模为1,进而第一项是重力加速度,第二项是标准场导致的增长速度度,第三项则是和过程的三阶项有关,进而会提交高速移动下的高能校对,因而一旦这些模型是不易的,那么我们可以预期在高能下会有例外的粒子行为。第四项在观念职业场下自动消失进而不思考。

至于联络函数最终的有个别,则是三个非对称项,能够说是扰率,这里不考虑。

接下去,让大家谈谈一个很有趣也很有难度,同不经常候也是二个实验性的话题:上述那一个流形上的曲率,是多少?

更进一步,曲率标量R未来是何许?


出于大家后天撤废了原来Finsler几何定义在节丛上的度规张量,所以对于如何做内积是一件很难办的事。

纵然我们可以通过最起始的措施定义多少个矢量的内积,但对于更平凡的张量,恐怕是力所不比的。

为此,这里大家接纳如下方案:

图片 17

个中曲面dΩ是流形上的单位球面,即指标球,而矢量n就是从球心指向单位球面包车型大巴单位向量。

经过上述积分得到的标量T,在黎曼几何中与张量T对下标的缩并获得的标量之间,只差叁个由流形维度决定的周密。

假定我们将分子被积函数扩充为三个n阶张量与n个单位矢量构成的函数,那么那个积分的性状,就是只要该数中蕴藏奇多次个单位矢量,那么这些积分为0;倘若带有偶数十二回个,那么会获取非零的结果,在那之中如上花样的一回形能够付出张量的压缩合并。

而在弱Finsler流形上,这性情情会有所不相同:由于单位矢量被衡量的h部分做了强化,进而有希望会在奇数十三次项中留下非零部分。

特意,当大家怀念的是标准场形的弱Finsler流形时,这种“激化”由正规矢量场A给出。

故此,假若大家运用上述积分格局来作为张量缩并的方案以来,那么大家就足以承接商讨在如上框架下的流形曲率的主题材料了。

为了轻松起见,大家现在一经上述弱Finsler流形的黎曼度量部分是Minkowsky的,进前段时间后流形的交换函数能够写为:

图片 18

当今大家思索交错协变微分(弱Finsler极限下):

图片 19

接下去,对其思量前边所说的积分。

先是,将U与A取为日前所说的单位矢量做积分,接着再给结果和矢量V一起做缩并,就足以获得如下结果:

图片 20

个中上标(1)的一部分来自场强H与二个单位矢量的同台积分,上标(2)的一对来自场强H与七个单位矢量的共同积分。

那东西是或不是望着非常可怜熟稔?

大家将标准矢量场A及其场强F代入:

图片 21

故而,在作为职能量的时候,在全空间积分并忽略边界项后可得:

图片 22

你看,和思想标准场的功效量就差贰个常数周密,进而得以认为全部规范场方式的弱Finsler流形当黎曼部分为闵氏度量的时候给出的正是标准场。

当黎曼部分不是闵氏度量时候,大家也得以做相同的操作,此时会赢得黎曼部分对应的广义相对论的Ricci标量,上述规范场强,以及标准场部分与黎曼重力部分的耦合项。

但,就和粒子运动部分在急忙状态下会和历史观黎曼几何有差距一样,对于黎曼重力部分不为零的动静,标准场和引力场的耦合的花样和价值观的分化样,因而在高能景况下也是能够表达的。


这边不可不要建议的一些是,上述总计存在几点特不足履实地的地点。

关键就是对于缩并用的积分的图谋,那个计算在欧氏几何上得以给出所要的结果,在黎曼几何上也可以,但对于时间和空间这种赝黎曼几何,则是存在八个无穷大发散的,将以此无穷Daihatsu散扣除后的点滴部分,能够给出所要的结果。

但这种“正规化”为什么能够做,则独自是一种随便的挑三拣四,近来并不知道什么依赖——或者是通过Wick转动,从时间和空间转动到欧氏空间,然后做积分,再转回来,那倒是很古板的量子场论中用过的手腕。

单向,即就是黎曼几何上没难点,那么些积分在Finsler几何下是不是还是创建,那就不亮堂了。当然,这里管理的是弱Finsler几何,所以大概照旧管用的啊。


说起底是一些谈谈。

就和紧致化是对蜷缩的额外维做展开后只取一阶项同样,这种弱Finsler几何的点子也是对Finsler度量做微扰后只取展开的一阶项,两个在这些怀念上是一样的,随后的出入就展现在弦论是本着富有额外维的黎曼几何做管理,而Finsler几何则是对具备非黎曼度量的四维Finsler时空做拍卖。

和有个别量子重力的宗派(比方本次吴岳良院士所选拔的从郭汉英等长辈国内物工学家早先正是用的Lorentz群规范场的山头)中校广义相对论中作为流形联络的重力变为纤维主丛联络的措施不一致,这里不再将外延几何转化为内涵几何,而是反过来,将原本用作内蕴的纤维丛性质的标准场视为外延的气量上的Finsler型变化,进而是将内涵几何转化为外延几何。

弦论利用额外维来做这种由内而外的变通,其实也是二个设法。

道理当然是那样的了,至于最后能否做成,这几个另说,或然这么些模型始终也但是是贰个Toy罢了。

并且,这里时间和空间的襟怀就如是定死的,完全不受带荷粒子所指引的力荷的影响,这种对具备物质天公地道的特征,显著会付出不带电粒子的行事也和带电粒子同样这种奇怪的业务。因而,或然莫过于情形时间和空间的心路会趁着在其上移动的粒子的少数质量而改变,也照旧那几个模型可是真正就只是四个Toy罢了——个人如今扶助于子孙后代。

况且,这里断定给出了高能下天堂地狱的作为,那本人就很有挑衅——因为简单的尝试大致就能够把那货到底否掉了啊。

自然也是有非常的小非常小的或者,大家找到了统一重力与规范场的框架,科科~


正文坚守创作共享CC BY-NC-SAUDI.0合计

经过本协议,您能够大饱眼福并修改本文内容,只要您听从以下授权条目款项规定:姓名标示
非商业性一致方法分享
具体内容请查阅上述左券证明。

本文禁绝任何纸媒,即印刷于纸张之上的满贯组织,富含但不幸免转发、摘编的其余利用和衍生。互连网平台如需转发必需与笔者联系确认。


设若喜欢简书,想要下载简书App的话,轻戳这里~~
腹心推荐订阅专项论题:《有趣的篇章》《严穆码匠圈》